桁の遠近法（けたのえんきんほう）

0から10億までの一本の線を思い浮かべて、100万に印をつけてください。多くの人は線のかなり右、ときには真ん中あたりに置きます。本当の位置は左端から0.1%、ほとんど0の上です。「桁の遠近法」は、この感覚のずれを数字と図にして返す小さな道具です。3本の数直線に数を置くだけで、あなたの頭の中の目盛りが定規のようにまっすぐなのか、遠くの桁ほど奥へ詰まって見える対数の目盛りなのかを、ひとつの係数で表します。

こんなときに使う

• 「億」や「兆」のニュースを見て、実感がわかない理由を自分の目盛りで確かめたいとき
• 算数や統計を教える場で、大きな数の感覚が人によってどれだけ違うかを見せたいとき
• 友だちや家族と、どちらが「定規の目」でどちらが「星空の目」か比べて遊びたいとき
• 見積もりや予算の話をする前に、自分の桁の感覚のくせを知っておきたいとき

使い方

1. ページを開いて「はじめる」を押します。
2. 画面に出た数を、線の上をタップかドラッグして置きます。キーボードなら矢印キーで1%ずつ、Shiftを押しながらだと5%ずつ動きます。
3. 「ここに置く」で次の数へ進みます。0〜100、0〜1万、0〜10億の順に、1本につき7個、全部で21個置きます。答え合わせは最後まで出ません。
4. 結果画面で、全体の遠近係数と4段階の判定、3本それぞれの物差しと表を見ます。
5. 名前を入れて「リンクをコピー」し、友だちに送ります。相手が同じ21問に答えると、2人の物差しが重なって表示されます。

仕様と機能

項目	内容
数直線	0〜100、0〜1万、0〜10億の3本
出題数	1本7個、計21個（値の大小とは無関係な順で出題）
位置の刻み	1000段階
モデル	置いた位置 ≈ (1−λ)×本当の位置 ＋ λ×対数の位置
対数の位置	log(1+x) ÷ log(1+最大値)
λ の範囲	最小二乗で求め、0〜1に丸める
判定	λ 0.15未満「定規の目」、0.4未満「ゆるい遠近」、0.7未満「遠近法つよめ」、それ以上「星空の目」
共有	21か所を36進2文字ずつ、計42文字にしてURLの#以降に入れる。名前は12字まで

λ は3本それぞれと、3本を合わせた全体の両方で計算します。さらに、求めた λ のモデルで「線のちょうど真ん中に置くはずの数」を二分法で逆算して、「あなたにとっての0〜10億の真ん中は約3000万」のように表示します。図は上段が本当の目盛り、下段があなたの目盛りで、同じ数どうしを線で結んでいるので、どこが引き伸ばされ、どこが押し縮められているかがひと目でわかります。計算はすべてブラウザの中で行い、サーバーには何も送りません。前回の結果だけをこの端末に保存します。

作るときに決めたこと

いちばん迷ったのは、目盛りの癖をどう一つの数にするかでした。子どもの数の発達の研究では、線形と対数を混ぜた式がもっともよく当てはまることが知られています。そこで混ぜる割合 λ をそのまま「遠近係数」と呼ぶことにしました。λ は1変数の最小二乗なので式ひとつで解け、端末の中で一瞬で計算できます。

数直線を3本にしたのは、同じ人でも桁が増えるほど遠近が強くなるかを見るためです。0〜100では定規どおりなのに、0〜10億では急に対数になる人は少なくありません。1本7個にしたのは、2分ほどで終わる長さと、λ が安定する個数の釣り合いからです。

最初に印が線の真ん中に出ていると、そこに引っぱられて置いてしまいます。そのため、タップするまで印を出さない作りにしました。答えを毎回見せないのも同じ理由で、途中で正解を知ると後半の置き方が変わってしまうからです。

注意点

• 結果はあくまでこの21問での傾向です。算数の能力や知能を測るものではありません。
• 同じ人でも、2回目は答えを覚えているぶん定規の目に近づきます。
• 共有リンクには置いた位置と名前が入ります。名前に本名を入れるかどうかは送る相手に合わせてください。
• 古いブラウザや、ページの保存が許可されていない環境では「前回の結果」が残りません。